PREVEDERE L’IMPROBABILE *

Prima il terremoto, poi lo tsunami e per finire un disastro nucleare: il mondo ha assistito esterrefatto a quanto accadeva in Giappone. Tutti eventi poco probabili, difficili da prevedere anche per gli esperti, ma con conseguenze molto gravi. Spesso però le persone tendono a trarre conclusioni errate dall’osservazione di un numero ristretto di eventi casuali. E a chiedere di conseguenza modifiche alle regole del gioco. Ma alcuni errori di percezione possono costare molto cari. I dati sulle giocate del lotto danese lo confermano.

di Claus B. JørgensenSigrid Suetens Jean-Robert Tyran, da “LaVoce.info

 

 

Una catastrofe nucleare o una crisi finanziaria sono eventi che hanno una bassa probabilità di verificarsi, ma quando si verificano hanno conseguenze disastrose. Per questo è difficile accettare che persino gli esperti facciano fatica a prevederli. Le difficoltà nascono da un’insufficiente comprensione delle cause e delle loro interazioni: le probabilità non sono indipendenti ma, al contrario, sono condizionate agli altri eventi.

DUE FALLACIE IN AZIONE

Gli esperti devono, per forza di cose, basare le proprie previsioni su quanto osservato in passato e ragionare per inferenza. Quando avviene un evento che era considerato estremamente improbabile, si sforzano di capire se il modello in uso debba essere rivisitato o meno, il che ha un’importanza cruciale per quanto concerne le raccomandazioni di policy. Ad esempio: quali raccomandazioni dovrebbero fornire gli esperti alla luce di quanto avvenuto a Fukushima o a seguito della recente crisi finanziaria? In questa fase, il cittadino medio resta disorientato e soggetto a una percezione distorta della casualità degli eventi più improbabili. La più comune è ricavare dall’osservazione di alcuni dati, la sensazione che esista uno schema fisso col quale gli eventi si ripetono, senza che questo sia vero e ciò potrebbe indurre a reazioni sproporzionate di fronte al verificarsi di tali eventi. Più precisamente, potremmo dire che molte persone tendono a trarre conclusioni eccessive sulla sottostante distribuzione della probabilità dall’osservazione di un numero ristretto di eventi casuali. Un intero filone di letteratura inaugurato da Amos Tversky e Daniel Kahneman ha individuato la fonte di questo problema nella cosiddetta “legge dei piccoli numeri”. (1) Ma perché alcune persone sono così propense a deduzioni affrettate? Esistono due spiegazioni plausibili, ma apparentemente contraddittorie.
Si cade nella “fallacia del giocatore d’azzardo” quando ci si attende un repentino spostamento verso la media. Se, ad esempio, un giocatore osserva uscire per tre volte il rosso alla roulette, tende a pensare che la volta successiva debba uscire il nero ed è facilmente indotto a scommettere sul nero. (2)
La “fallacia della mano calda” ricorre invece quando, dopo aver osservato una serie di eventi inusuali e simili, un giocatore tende a credere che questa serie continuerà nel futuro.
Il termine “mano calda” deriva dal basket: ha la “mano calda” un giocatore che fa canestro molte volte di fila, cioè ha più probabilità di segnare al tentativo seguente. (3)
La più recente teoria comportamentale ha tentato di riconciliare l’apparente contraddizione tra i due tipi di conclusione errata con una spiegazione la cui intuizione sottostante può essere spiegata ricorrendo all’esempio della roulette. (4)
Una persona soggetta alla “legge dei piccoli numeri” crede che i piccoli campioni siano “simili” alla vera distribuzione, cioè che anche un piccolo campione possa essere sufficientemente rappresentativo. Quindi, per esempio, è indotta a credere che su sei giri di roulette tre debbano quasi necessariamente essere rossi e tre neri (ignoriamo per semplicità il verde) e se quanto osservato si discosta invece da questa regola del 50-50, si attende un immediato riequilibrio. Nel nostro esempio, se su sei giri consecutivi di roulette il rosso esce due volte, la persona è convinta che al terzo giro l’uscita del nero sia “dovuta”, per ripristinare il rapporto 50-50. Supponiamo ora che la persona in questione dubiti della correttezza della roulette. Se osserva un evento improbabile (ad esempio, sei volte rosso su sei giri), inizia a dubitare del funzionamento della ruota della roulette perché una lunga serie non corrisponde a quella che nella sua percezione dovrebbe essere una sequenza casuale. La persona rivisita allora il proprio modello di generazione dei risultati, dando maggiore probabilità all’evento che vede accadere più spesso del previsto (nel nostro caso, l’uscita del rosso). La conclusione della teoria è che la stessa persona può credere in un primo momento, quando la serie è breve, nel repentino cambio di rotta (la fallacia del giocatore) e in un secondo momento, quando la serie è lunga, può credere nel prosieguo del trend al quale assiste (la fallacia della mano calda).

I NUMERI DEL LOTTO DANESE

In un recente studio abbiamo utilizzato dati raccolti dal Lotto per verificare la teoria. (5)
Il Lotto fornisce un’opportunità unica e particolarmente convincente per verificare questo genere di distorsioni. In primo luogo perché il processo di estrazione casuale è noto e si fa di tutto per renderlo trasparente: l’estrazione dei numeri dall’urna è trasmessa in diretta televisiva ed è soggetta al controllo dello Stato.
Dovrebbe inoltre essere chiaro a tutti gli osservatori che i numeri sono estratti in modo veramente casuale e che l’osservazione delle estrazioni passate non fornisce alcuna informazione riguardo a quelle future (ovvero le estrazioni sono totalmente indipendenti).
I dati del nostro studio, relativi alla lotteria di stato danese 7/36, sono particolarmente utili perché seguono individualmente i giocatori nel corso del tempo, il che ci permette di studiare come reagiscano alle estrazioni più recenti. (6) Abbiamo trovato evidenza che ricorrono entrambi i tipi di fallacia e che veramente esiste un legame tra loro, come ipotizzato da Rabin e Vayanos.
Molti giocatori, indipendentemente da tutto, tendono a scegliere gli stessi numeri settimana dopo settimana. Altri invece reagiscono alle estrazioni precedenti e spesso lo fanno evitando di giocare i numeri usciti la settimana prima, mentre preferiscono orientarsi sui numeri estratti per varie settimane di fila. In particolare, i dati al livello individuale ci permettono di mostrare che le due fallacie sono sistematicamente correlate: i giocatori inclini alla fallacia del giocatore d’azzardo sono inclini anche alla fallacia della mano calda. In una certa misura, le due fallacie esistono e coesistono (cioè alcuni individui non sono soggetti ad alcun tipo di fallacia, altri sono più soggetti a una che all’altra, altri ancora a entrambe), ma sono sufficientemente diffuse e sistematiche da permetterne l’individuazione anche a livello aggregato.
La figura 1 mostra la percentuale di tutte le “reazioni” (ovvero la mossa successiva a quella di un’estrazione) come una funzione del numero di settimane consecutive di estrazione del numero. Per esempio, la prima barra mostra che se un dato numero non è stato estratto nella settimana precedente (un evento probabile), i giocatori sono relativamente indifferenti se sceglierlo oppure no (la probabilità che lo giochino o meno è la stessa). La seconda barra mostra che se un dato numero è stato estratto la settimana precedente, avrà meno probabilità di essere giocato (di circa due punti percentuali): è una dimostrazione della presenza della fallacia del giocatore d’azzardo a livello aggregato. Le successive barre sulla destra mostrano che se un dato numero viene estratto varie volte di fila (un evento improbabile), tende a diventare sempre più “popolare”. I risultati sono in linea con le recenti scoperte dai laboratori sperimentali. (7)

Figura 1: Scelte in percentuale di un dato numero in funzione del numero di settimane consecutive in cui è stato estratto (include intervalli di confidenza del 95 per cento).

ERRORI CHE COSTANO

Tutto ciò può semplicemente apparire assurdo, ma oltretutto è anche costoso, per due ragioni. I giocatori che più sono soggetti alle due fallacie sono anche quelli che generalmente perdono di più. Questi giocatori infatti comprano sistematicamente più biglietti e, con un tasso di pagamento del lotto danese del 45 per cento, inevitabilmente perdono, in media, più denaro. Probabilmente, percepiscono in maniera errata anche le possibilità (scarse) di vincita: nel caso danese la probabilità di vincere è una su otto milioni. Vincono poi di meno: non perché abbiano meno probabilità di vincere, ma perché tendono a scegliere esattamente gli stessi numeri di altri giocatori soggetti alle stesse fallacie. E quindi, quando vincono, vincono mediamente meno denaro perché la lotteria ha una struttura “pari-mutuale” per la quale il premio in denaro è fisso e viene suddiviso tra i vincitori.
Ne è un esempio estremo il caso del lotto bulgaro 6/42: nel settembre 2009 per due settimane consecutive è stata estratta la stessa esatta sequenza di numeri. Nessun giocatore aveva vinto alla prima estrazione, ma ben diciotto persone indovinarono la seconda. Così, i diciotto vincitori hanno dovuto dividersi il jackpot, perdendo circa il 94 per cento del premio rispetto a quello che avrebbero vinto se fossero risultati l’unico vincitore.
Utilizzando il gioco del lotto, il nostro studio mostra che alcune persone tendono a trarre conclusioni molto forti basandosi su poche osservazioni e che le credenze sbagliate sono comuni e sistematiche quando cercano di prevedere eventi improbabili. In una prospettiva più generale, questi errori possono indurre l’opinione pubblica e i media a chiedere forti cambiamenti di policy in risposta a eventi altamente improbabili. In questi casi, i politici sono così chiamati a rispondere alla domanda popolare di nuove regole, ma il regolatore dovrebbe stare bene attento alla comune tendenza a trarre conclusioni sbagliate sulla regolarità di eventi rari e dovrebbe studiare con cura i dati osservati, per comprendere se davvero giustificano una correzione di rotta.

(1) Kahneman, D. e Tversky, A. (1971), “Belief in the law of small numbers”, Psychological Bulletin 76: 105–110.
(2) Croson, R. e Sundali, J. (2005), “The gambler’s fallacy and the hot hand: Empirical data fromcasinos“,Journal of Risk and Uncertainty 30: 195–209.
(3) Camerer, C. (1989), “Does the basketball market believe in the hot hand?“,American Economic Review 79: 1257–1261.
(4) Rabin, M. e Vayanos, D. (2010), “The gambler’s and hot-hand fallacies: Theory and applications”, Review of Economic Studies 77: 730–778.
(5) Jørgensen, C.B., Suetens, S. e Tyran, J.-R. (2011), “Predicting Lotto Numbers“, Cepr Discussion Paper 8314.
(6)Anche Clotfelder e Cook avevano utilizzato dati del lotto per studiare la fallacia del giocatore, ma non avevano potuto osservare le scelte individuali. Clotfelder, C. and Cook, P. (1993). “The gambler’s fallacy in lottery play”, Management Science 39: 1521–1525.
(7) Asparouhova, E., Hertzel, M. and Lemmon, M. (2009), “Inference from streaks in random outcomes: experimental evidence on beliefs in regime shifting and the law of small numbers”, Management Science 55: 1766–1782.

 * Il testo in lingua originale è pubblicato su Vox.

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